Sistemi LTI a tempo discreto: funzione di trasferimento, poli e risposta in frequenza

Stimarne il modello a partire dai segnali di ingresso e di uscita. Ci limiteremo ai sistemi LTI (lineari e tempo-invarianti) a tempo discreto, con un ingresso e un'uscita (SISO). Questo articolo raccoglie gli strumenti per descriverli; per lo spettro dei segnali si veda l'articolo sulla DFT.

Trasformata Zeta

La trasformata Zeta associa a un segnale discreto $g(t)$ una funzione della variabile complessa $z$:

$$G(z) = \mathcal{Z}[g(t)] = \sum_{t=-\infty}^{+\infty} g(t)\, z^{-t}$$

È lineare, e ha una proprietà che la rende comodissima: ritardare un segnale di un passo equivale a moltiplicarne la trasformata per $z^{-1}$:

$$\mathcal{Z}[g(t-1)] = z^{-1}\, G(z)$$

Per questo $z^{-1}$ si chiama operatore di ritardo unitario, e $z$ di anticipo. La DTFT è la trasformata Zeta valutata sulla circonferenza di raggio 1, cioè in $z = e^{j\omega}$.

Convoluzione

Un sistema LTI causale è completamente descritto dalla sua risposta all'impulso $g(t)$: l'uscita quando l'ingresso è un singolo 1 all'istante zero. Per qualsiasi altro ingresso, l'uscita è la convoluzione:

$$y(t) = \sum_{j=0}^{\infty} g(j)\, u(t-j)$$

Ogni campione passato dell'ingresso contribuisce all'uscita di adesso, pesato da $g$. La causalità ($g(t) = 0$ per $t < 0$) dice che l'ingresso non può influenzare l'uscita prima di essere applicato.

Il motivo per cui si usa la trasformata Zeta è che trasforma la convoluzione, scomoda, in un prodotto:

$$Y(z) = G(z)\, U(z)$$

Funzione di trasferimento

$G(z) = Y(z)/U(z)$, la trasformata della risposta all'impulso, è la funzione di trasferimento, ottenuta con condizioni iniziali nulle. Per i sistemi che ci interessano è un rapporto di polinomi in $z$. Useremo come esempio:

$$G(z) = \frac{3z - 0{,}3}{z^2 - 0{,}3z - 0{,}1}$$

Dividendo numeratore e denominatore per $z^2$ si ottiene la forma in $z^{-1}$:

$$G(z) = \frac{3z^{-1} - 0{,}3z^{-2}}{1 - 0{,}3z^{-1} - 0{,}1z^{-2}}$$

Moltiplicando in croce, $Y(z)\,(1 - 0{,}3z^{-1} - 0{,}1z^{-2}) = (3z^{-1} - 0{,}3z^{-2})\,U(z)$. Ogni $z^{-k}$ è un ritardo di $k$ passi, quindi tornando nel tempo si ricava la forma ricorsiva, l'equazione alle differenze che il computer può eseguire:

$$\begin{aligned} y(t) = {} & 0{,}3\,y(t-1) + 0{,}1\,y(t-2) \\ & + 3\,u(t-1) - 0{,}3\,u(t-2) \end{aligned}$$

È la memoria dei sistemi dinamici dell'introduzione: l'uscita dipende dalle uscite e dagli ingressi passati. Identificare il sistema vorrà dire stimare quei quattro coefficienti dai dati.

Per comodità si scrive spesso $y(t) = G(z)\,u(t)$, trattando $z^{-1}$ come operatore che ritarda il segnale. È un piccolo abuso di notazione, ma permette di passare al volo dalla funzione di trasferimento all'equazione alle differenze.

Un sistema si può descrivere anche nello spazio di stato, con matrici $A, B, C, D$; la funzione di trasferimento si ricava come $C(zI - A)^{-1}B + D$. Lo spazio di stato è la rappresentazione più completa, ma qui ci interessa il legame ingresso-uscita.

Poli, zeri e stabilità

Le radici del numeratore sono gli zeri, quelle del denominatore i poli. Nell'esempio:

• zero: $3z - 0{,}3 = 0$, cioè $z = 0{,}1$;
• poli: $z^2 - 0{,}3z - 0{,}1 = 0$, cioè $z = 0{,}5$ e $z = -0{,}2$.

Un sistema a tempo discreto è asintoticamente stabile se tutti i poli hanno modulo minore di 1. Qui sì: se perturbato, torna all'equilibrio, e la sua risposta all'impulso si spegne. Simulando la forma ricorsiva con un impulso:

L'uscita a $t = 0$ è nulla perché il numeratore inizia con $z^{-1}$: il sistema ha un passo di ritardo. Poi la risposta decade come $0{,}5^t$, il polo più lento.

Guadagno

Se si applica un gradino (ingresso che passa da 0 a 1 e resta lì), l'uscita di un sistema stabile si assesta su un valore costante: il guadagno statico $\mu$. Si calcola valutando $G$ in $z = 1$:

$$\mu = G(1) = \frac{3 - 0{,}3}{1 - 0{,}3 - 0{,}1} = \frac{2{,}7}{0{,}6} = 4{,}5$$

È anche la somma di tutti i campioni della risposta all'impulso. La simulazione conferma: la risposta al gradino vale 3; 3,6; 4,08; 4,28; 4,39… e converge a 4,5.

Risposta in frequenza

Se l'ingresso di un sistema stabile è una sinusoide, l'uscita, esaurito il transitorio, è una sinusoide alla stessa frequenza: amplificata o attenuata di $|G(e^{j\omega})|$, e sfasata di $\angle G(e^{j\omega})$. Valutare $G$ sulla circonferenza unitaria dà la risposta in frequenza del sistema:

Il sistema amplifica di più le frequenze basse: a $\omega = 0$ ritrova il guadagno statico, perché una sinusoide a frequenza zero è una costante.

La forma della risposta in frequenza si intuisce dalla posizione di poli e zeri, con la similitudine del tendone da circo. Si immagini $|G(z)|$ come un telo steso sul piano complesso: i poli sono pali che lo sollevano all'infinito, gli zeri picchetti che lo inchiodano a terra. La risposta in frequenza è il profilo del telo lungo la circonferenza unitaria, da $\omega = 0$ (il punto $z = 1$) a $\omega = \pi$ (il punto $z = -1$). Nell'esempio il polo in 0,5 è vicino a $z = 1$ e solleva il telo alle basse frequenze; quello in −0,2, più debole, lo rialza un po' verso $\omega = \pi$.

Perché il ritardo diventa z⁻¹

Dalla definizione, con il cambio di indice $\tau = t - 1$:

$$\begin{aligned} \mathcal{Z}[g(t-1)] &= \sum_{t} g(t-1)\, z^{-t} \\ &= \sum_{\tau} g(\tau)\, z^{-(\tau+1)} \\ &= z^{-1} \sum_{\tau} g(\tau)\, z^{-\tau} \\ &= z^{-1}\, G(z) \end{aligned}$$

Lo stesso conto con $t + 1$ dà il fattore $z$ dell'anticipo.

Riepilogo

• La trasformata Zeta trasforma ritardi in moltiplicazioni per $z^{-1}$ e la convoluzione in un prodotto.
• La funzione di trasferimento $G(z) = Y(z)/U(z)$ si riscrive come equazione alle differenze: uscite e ingressi passati, gli stessi regressori dell'identificazione.
• Il sistema è stabile se i poli sono dentro il cerchio unitario; il guadagno statico è $G(1)$.
• La risposta in frequenza $G(e^{j\omega})$ dice come il sistema amplifica e sfasa ogni sinusoide; poli e zeri ne disegnano la forma.