Trasformata di Fourier discreta

Con questo articolo la serie passa ai sistemi dinamici. Come visto nell'introduzione, i loro ingressi e le loro uscite sono segnali: grandezze che cambiano nel tempo. Prima di identificare un sistema serve qualche strumento per descrivere i segnali, in particolare il loro contenuto in frequenza.

Segnali a tempo discreto

Un computer non vede un segnale continuo, ma i suoi campioni, presi ogni $T_s$ secondi (frequenza di campionamento $f_s = 1/T_s$ ). Per semplicità si scrive $u(t)$ al posto di $u(t \cdot T_s)$ : il tempo $t$ diventa un numero intero, il numero del campione.

Un segnale è deterministico se è completamente noto, con una formula o una registrazione; è stocastico se se ne conoscono solo le proprietà probabilistiche, come un rumore di misura o l'intensità del vento. Qui ci occupiamo dei primi.

Energia e potenza

L'energia di un segnale è la somma dei quadrati di tutti i suoi campioni:

\mathcal{E}_u = \sum_{t=-\infty}^{+\infty} u(t)^2

Se è finita, $u$ è un segnale di energia: per esempio un segnale di durata limitata.

Una sinusoide che dura per sempre ha energia infinita. Per questi segnali si usa la potenza media:

\mathcal{P}_u = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{t=-N}^{N} u(t)^2

Se è finita, $u$ è un segnale di potenza: tutti i segnali periodici lo sono. La radice della potenza è il valore efficace o RMS: il valore del segnale costante che ha la stessa potenza. Per una sinusoide di ampiezza $A$ la potenza è $A^2/2$ , e il valore efficace $A/\sqrt{2} \approx 0{,}707\,A$ .

La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)

L'idea di Fourier è che un segnale si possa scrivere come somma di sinusoidi a frequenze diverse. La DTFT dice quanto pesa ciascuna:

U(\omega) = \sum_{t=-\infty}^{+\infty} u(t)\, e^{-j\omega t}

$U(\omega)$ è un numero complesso per ogni pulsazione $\omega$ : il modulo dice l'ampiezza della componente a quella frequenza, l'argomento la sua fase. Si chiama spettro del segnale, e si può tornare indietro senza perdere nulla con la DTFT inversa.

Tre proprietà da tenere a mente:

è periodica di periodo $2\pi$ ;
per segnali reali, i valori a $-\omega$ sono i coniugati di quelli a $\omega$ : tutta l'informazione sta tra 0 e $\pi$ ;
la pulsazione $\omega$ è normalizzata, in radianti per campione. La massima, $\omega = \pi$ , corrisponde a $f_s/2$ , la frequenza di Nyquist: la sinusoide più veloce che si può rappresentare, che cambia segno a ogni campione.

Il quadrato del modulo, $|U(\omega)|^2$ , è la densità spettrale di energia: dice come l'energia del segnale si distribuisce tra le frequenze. La sua area, divisa per $2\pi$ , è proprio l'energia (teorema di Parseval).

La trasformata di Fourier discreta (DFT)

La DTFT è uno strumento teorico: richiede infiniti campioni e dà una funzione continua di $\omega$ . Nella pratica si hanno $N$ campioni, $u(0), \dots, u(N-1)$ , e si usa la DFT:

\breve U(k) = \sum_{t=0}^{N-1} u(t)\, e^{-j \frac{2\pi}{N} k t}

con $k = 0, \dots, N-1$ .

Da $N$ numeri reali si passa a $N$ numeri complessi. La differenza con la DTFT è che lo spettro non si ottiene più a tutte le frequenze, ma solo a $N$ frequenze precise, equidistanti. Ciascuna di queste frequenze si chiama bin: il bin $k$ è la frequenza

f_k = k\,\frac{f_s}{N}

e $\breve U(k)$ è il valore dello spettro in quel punto. Per esempio, con $f_s = 1000$ Hz e $N = 2000$ campioni (2 secondi di misura), i bin sono a 0 Hz, 0,5 Hz, 1 Hz, 1,5 Hz e così via, ogni mezzo hertz. Di quello che succede a 0,7 Hz la DFT non dice nulla direttamente.

La distanza tra due bin vicini è la risoluzione in frequenza, $f_s/N$ : per distinguere frequenze vicine servono più campioni, cioè una misura più lunga. Il bin $k = 0$ è la somma dei campioni, cioè $N$ volte il valore medio. Per segnali reali, dopo $N/2$ i valori si ripetono specchiati: quelli utili sono i bin da 0 a $N/2$ , fino alla frequenza di Nyquist.

La DFT calcolata direttamente costa $N^2$ operazioni. La FFT (Fast Fourier Transform) è una famiglia di algoritmi che calcola lo stesso risultato in circa $N \log N$ .

Leakage

Prendiamo un segnale fatto di tre pezzi: una costante 5, una sinusoide a 1 Hz di ampiezza 0,8 e una a 2 Hz di ampiezza 0,3.

\begin{aligned} u(t) = 5 &+ 0{,}8\,\sin(2\pi \cdot 1\,t) \\ &+ 0{,}3\,\sin(2\pi \cdot 2\,t) \end{aligned}

Lo campioniamo a 1000 Hz (qui $t$ è il tempo in secondi) e calcoliamo la FFT. I numeri che escono non sono subito le ampiezze: vanno sistemati in due passi.

Dividere per $N$ . La DFT somma $N$ campioni, quindi più la misura è lunga, più i valori sono grandi. Dividendo per $N$ il risultato non dipende più dalla durata, e il bin a 0 Hz diventa la media dei campioni.
Raddoppiare tutti i bin, tranne quello a 0 Hz e quello di Nyquist. Lo spettro di un segnale reale è specchiato: metà dell'ampiezza di ogni sinusoide sta nel suo bin, l'altra metà nel bin simmetrico oltre $N/2$ . Guardando solo la prima metà, si raddoppia per riavere l'ampiezza intera.

Facciamo il calcolo due volte, cambiando solo la durata della misura. Prima, attenzione a non confondere due numeri:

la frequenza di campionamento, $f_s = 1000$ Hz, dice quanti campioni si prendono al secondo. Resta sempre la stessa, e fissa la frequenza più alta che si può vedere: Nyquist, 500 Hz;
la distanza tra i bin è $f_s/N$ . Siccome $N = f_s \cdot T$ , dove $T$ è la durata della misura, vale semplicemente $1/T$ : dipende solo dalla durata.

Con 2 secondi si hanno $N = 2000$ campioni e i bin sono distanti $1000/2000 = 0{,}5$ Hz. Con 2,5 secondi si hanno $N = 2500$ campioni e i bin sono distanti $1000/2500 = 0{,}4$ Hz. In entrambi i casi i bin arrivano fino a 500 Hz; il grafico mostra solo il tratto tra 0 e 3 Hz, dove si trovano le componenti del segnale.

Con 2 secondi ( $N = 2000$ ) i bin sono ogni 0,5 Hz. Le frequenze 1 e 2 Hz cadono esattamente su un bin, e la FFT restituisce i valori giusti: 5 a 0 Hz, 0,8 a 1 Hz, 0,3 a 2 Hz, zero altrove.

Con 2,5 secondi ( $N = 2500$ ) i bin sono ogni 0,4 Hz: ce n'è uno a 0,8 e uno a 1,2 Hz, ma nessuno a 1 Hz. L'ampiezza della sinusoide a 1 Hz si sparge sui bin vicini (0,57 e 0,46) e un po' anche su quelli lontani. Non si "divide" nel senso della somma, perché 0,57 + 0,46 supera 0,8: quella che si conserva è la potenza, cioè la somma dei quadrati. Il leakage arriva anche nei bin delle altre componenti: il bin a 2 Hz vale 0,31 invece di 0,3, quello a 0 Hz 5,10 invece di 5. Questo effetto si chiama leakage spettrale (leakage in inglese vuol dire "fuoriuscita").

Perché succede. La DFT dà per scontato che gli $N$ campioni siano un periodo di un segnale che si ripete all'infinito. In 2 secondi la sinusoide a 1 Hz fa due giri completi: ripetendo la misura, la fine si raccorda con l'inizio. In 2,5 secondi fa due giri e mezzo: ripetendola, alla giunzione c'è un salto. Un salto non è una sinusoide, e per descriverlo servono componenti a molte frequenze.

Con segnali reali le frequenze non si conoscono in anticipo, quindi il leakage c'è quasi sempre. Per limitarlo si può misurare più a lungo, così i bin sono più fitti e l'ampiezza si sparge su una banda più stretta attorno alla frequenza vera.

Riepilogo

Un segnale discreto è una sequenza di campioni; si misura con l'energia se è finita, altrimenti con la potenza (e il valore efficace).
La DTFT scompone il segnale in sinusoidi: è periodica di $2\pi$ , e per segnali reali basta guardarla tra 0 e $\pi$ , cioè fino a $f_s/2$ .
La DFT è la versione calcolabile, su $N$ campioni: bin a $k f_s/N$ , risoluzione $f_s/N$ . La FFT la calcola in fretta.
La DFT presuppone un segnale periodico: se la misura non contiene periodi interi, l'ampiezza si sparge sui bin vicini (leakage).