Analisi di sensitività: cosa succede se i dati cambiano

Trovato l'ottimo, arrivano le domande: e se avessimo un'ora di lavoro in più? E se il prezzo di un prodotto salisse? Conviene lanciare un prodotto nuovo? L'analisi di sensitività (o di post-ottimalità) risponde senza rifare il simplesso da capo: usa il tableau finale per capire fino a dove la soluzione ottima resta valida e cosa succede quando smette di esserlo.

L'esempio: le vernici

Un colorificio produce quattro vernici, V1–V4, e vuole massimizzare il profitto settimanale. Ogni ettolitro richiede ore di lavoro in due reparti:

In forma matriciale, con $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)$ gli ettolitri prodotti a settimana:

$$\max \ \omega = p^\top x \qquad A\,x \le b, \quad x \ge 0$$ $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \qquad b = \begin{bmatrix} 100 \\ 150 \end{bmatrix}$$ $$p^\top = (35,\ 40,\ 70,\ 80)$$

Il simplesso trova l'ottimo: produrre 50 hl di V2 e 50 hl di V3, nient'altro, per un profitto di 5.500 € a settimana. Le ore di entrambi i reparti sono usate tutte ($s_1 = s_2 = 0$). Il tableau finale contiene tutto quello che serve:

Nelle colonne degli scarti si legge l'inversa della base (come spiegato nel simplesso con le matrici):

$$B^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$

Tre formule bastano

Tutta l'analisi si basa sulle tre relazioni che legano la soluzione ai dati, dove $c = -p$ perché il simplesso lavora sul problema di minimo:

$$\begin{aligned} w_B &= B^{-1} b \\ r_N^\top &= c_B^\top B^{-1} N - c_N^\top \\ \varphi &= c_B^\top B^{-1} b \end{aligned}$$

Quando un dato cambia, cambiano queste quantità. La base resta quella ottima finché valgono due condizioni:

• ammissibilità: i valori delle variabili di base restano $w_B \ge 0$;
• ottimalità: i costi ridotti delle variabili non di base restano $r_N \le 0$.

Quanto vale un'ora in più: i prezzi ombra

Se il reparto miscelazione avesse 101 ore invece di 100, il profitto crescerebbe di 10 €. Il numero si legge nel tableau: è il costo ridotto dello scarto $s_1$, cambiato di segno. Allo stesso modo un'ora in più di confezionamento vale 30 €.

Sono i prezzi ombra (o valori interni) delle risorse: quanto rende un'unità in più di ciascuna. Coincidono con la soluzione del problema duale. Il confezionamento è la risorsa più preziosa: se si può comprare un'ora di lavoro in più, conviene metterla lì.

Fino a dove vale: i termini noti

Il prezzo ombra vale solo finché la base ottima non cambia. Se le ore di miscelazione diventano $100 + \delta$, cambiano i valori delle variabili di base:

$$w_B = B^{-1}(b + e_1\,\delta) = \begin{bmatrix} 50 + 2\delta \\ 50 - \delta \end{bmatrix}$$

Perché restino non negativi serve $-25 \le \delta \le 50$, cioè ore di miscelazione tra 75 e 150. In tutto questo intervallo conviene ancora produrre solo V2 e V3, ogni ora vale 10 € e il profitto va da 5.250 a 6.000 €. Fuori dall'intervallo una delle due variabili diventerebbe negativa, e la base ottima cambia.

Per il confezionamento, con $B^{-1} e_2 = (-1, 1)$, lo stesso conto dà $x_2 = 50 - \delta$ e $x_3 = 50 + \delta$: il prezzo ombra di 30 € vale per ore di confezionamento tra 100 e 200, con un profitto da 4.000 a 7.000 €.

Fino a dove vale: i profitti

Qui conta se il prodotto è già in produzione o no.

Un prodotto non prodotto: V1. $x_1$ è non di base. Se il suo profitto sale di $\delta$, cambia solo il suo costo ridotto, che diventa $-15 + \delta$. La base resta ottima finché è $\le 0$, cioè finché $p_1 \le 50$ €/hl. Il costo ridotto $-15$ si legge così: per rendere conveniente V1, il suo profitto deve salire di più di 15 €. A 50 €/hl esatti produrla o no è indifferente: il profitto resta 5.500 €.

Se per esempio $p_1$ sale a 65 €/hl, il costo ridotto diventa positivo, V1 entra in base e un'iterazione del simplesso porta al nuovo ottimo: circa 16,7 hl di V1 e 66,7 hl di V3, per 5.750 €. Lo stesso ragionamento per V4, con costo ridotto $-20$, dà $p_4 \le 100$ €/hl.

Un prodotto già in produzione: V2. $x_2$ è di base, quindi il suo profitto entra in $c_B$, e un cambiamento sposta tutti i costi ridotti insieme. Imponendo che restino tutti $\le 0$ si trova che la produzione ottima non cambia finché $35 \le p_2 \le 60$ €/hl. Cambia invece il profitto, perché si continua a produrre la stessa quantità di V2 a un prezzo diverso.

Il conto per il profitto di V2

Il simplesso lavora sul problema di minimo, dove il coefficiente di V2 è $c_2 = -p_2$. Se il profitto aumenta di $\delta$, il coefficiente scende di $\delta$. $x_2$ è la prima variabile di base, quindi $c_B$ diventa $c_B - \delta\, e_1$, e i costi ridotti delle non di base diventano:

$$\tilde r_N^\top = r_N^\top - \delta\, e_1^\top B^{-1} N$$

$e_1^\top B^{-1} N$ è la prima riga del tableau, letta nelle colonne delle non di base $x_1$, $x_4$, $s_1$, $s_2$: $(3;\ -1;\ 2;\ -1)$. Imponendo che tutti i costi ridotti restino $\le 0$:

$$\begin{aligned} -15 - 3\delta \le 0 &\ \Rightarrow\ \delta \ge -5 \\ -20 + \delta \le 0 &\ \Rightarrow\ \delta \le 20 \\ -10 - 2\delta \le 0 &\ \Rightarrow\ \delta \ge -5 \\ -30 + \delta \le 0 &\ \Rightarrow\ \delta \le 30 \end{aligned}$$

Valgono tutte per $-5 \le \delta \le 20$, cioè $35 \le p_2 \le 60$ €/hl. Il limite superiore viene da V4: se V2 rende molto, conviene spostare il confezionamento da V3 a V4 e produrre più V2. Il limite inferiore viene da V1: sotto i 35 €/hl conviene produrre V1 al posto di V2. Il valore del profitto nell'intervallo è $5.500 + 50\,\delta$ €, perché si continuano a produrre 50 hl di V2.

Prodotti nuovi e vincoli nuovi

Un prodotto nuovo. Si pensa di produrre V5, che richiede 1 ora di miscelazione e 1 di confezionamento per ettolitro. Conviene? Basta calcolare quanto valgono, ai prezzi ombra, le risorse che consumerebbe:

$$10 \cdot 1 + 30 \cdot 1 = 40 \ \text{€/hl}$$

V5 conviene solo se il suo profitto supera 40 €/hl: in quel caso il suo costo ridotto è positivo, entra in base, e il simplesso riparte dal tableau attuale. Se rende meno, togliere risorse a V2 e V3 per produrlo farebbe perdere più di quanto guadagna.

Un vincolo nuovo. Il magazzino può contenere al massimo 90 hl a settimana: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \le 90$. La soluzione attuale produce $50 + 50 = 100$ hl, quindi lo viola. Si aggiunge il vincolo al tableau e si riottimizza: il nuovo ottimo è 30 hl di V2 e 60 di V3, per 5.400 €. Se invece la soluzione attuale avesse rispettato il nuovo vincolo, sarebbe rimasta ottima senza fare niente.

Riepilogo

• L'analisi di sensitività usa il tableau finale per rispondere alle domande "e se…?" senza risolvere di nuovo.
• La base resta ottima finché valgono ammissibilità ($w_B \ge 0$) e ottimalità ($r_N \le 0$).
• I prezzi ombra (costi ridotti degli scarti, cambiati di segno) dicono quanto vale un'unità in più di ogni risorsa. Coincidono con la soluzione duale e valgono solo in un intervallo dei termini noti.
• Il profitto di un prodotto non prodotto cambia solo il suo costo ridotto. Quello di un prodotto in produzione li cambia tutti.
• Un prodotto nuovo conviene se rende più delle risorse che consuma, valutate ai prezzi ombra. Un vincolo nuovo va controllato sulla soluzione attuale.